欧式与美式期货期权的Greeks特性分析

日期:2021-02-05/ 分类:社会

  二者之间除深度实值片面外无清晰区别

  [期权定价模型]

  现在国内已经上市或计划上市的期权品栽中,50ETF期权为欧式现货期权,大商所的豆粕期权、玉米期权,以及郑商所的白糖期权、棉花期权均为美式期货期权,而上期所的铜期权则为欧式期货期权。期权类型迥异,理论定价模型也不尽相通,吾们常用Black-Scholes-Merton模型(简称B-S模型)为50ETF期权定价,铜期权同为欧式期权,将B-S模型中的S替换为F,即可得到Black(76)模型。豆粕期权、玉米期权行使BAW模型定价,白糖期权、棉花期权行使二叉树模型进走定价。

  为了更益地行使期权进走投资和风险管理,除了选择正当的模型和震动率对期权价格精准定价外,还必要计算出期权头寸袒展现来的敞口大幼,也就是Greeks,其在精度方面不如定价请求高。美式期货期权不具有解析解,计算相对复杂,而欧式期货期权的Black模型具有解析解,为了方便计算和不益看察Greeks特征,是否能够行使Black模型对白糖、豆粕等美式期货期权的Greeks进走近似计算呢,而这能够存在众大的差错?这是本文探讨的重点。

  在本文的分析当中,笔者倘若无风险利率为4%,震动率为20%,对走权价为5000元/吨的白糖期权别离行使二叉树模型和Black模型,计算了欧式和美式期权Greeks随标的期货价格的转折情况,晓畅Greeks特征,并将两个模型计算得到的Greeks值添以对比,分析存在的迥异及背后因为。

  [期权风险度量指标]

  Delta

  Delta逆映了期权价格相对于标的价格的敏感程度,下图是望涨期权与望跌期权的Delta弯线。实线为Black模型下的Delta,即Delta(Black),虚线为二叉树模型下的Delta,即Delta(二叉树)。

  对于望涨期权来说,Dleta为正值,其震动周围在0到1之间。望涨期权的实值程度越高,Delta值越大。平值望涨期权的Delta值挨近0.5,当望涨期权处于深度实值状态时,Delta趋近于1,处于深度虚值状态时,Delta则趋近于0。

  望涨期权Delta与望跌期权Delta存在如劣等式有关:Delta(P)=Delta(C)-1。所以,对于望跌期权来说,Dleta恒为负值,其震动周围在-1到0之间。望跌期权的实值程度越高,Delta绝对值越大。平值望跌期权的Delta值挨近-0.5,当望跌期权处于深度实值状态时,Delta趋近于-1,处于深度虚值状态时,Delta则趋近于0。

  迥异状态的Delta值能够概括为:

另外,将两个模型下的Delta值进走对比发现,集体趋势上望,用迥异的模型计算出来的Delta值无较大迥异,但在实值片面存在着清晰区别。

  为了便于不益看察,吾们将Delta(二叉树)与Delta(Black)做差。随着在值程度的挑高(期权越是实值,在值程度越高),二者差距以添速度手段在逐渐扩大,而当在值程度超过肯定阈值时,差距又逐渐缩短。

  为了避免虚值期权与实值期权的Delta绝对程度迥异带来的影响,吾们同时也计算了二者之间的相对大幼,即经历Delta(二叉树)/Delta(Black)-1得到。总体来说,两栽模型计算出来的Delta值存在肯定差别,但差别限制在2%以内,意味着差距不大。

  详细分析,能够发现对于虚值10%以上的期权,Delta(二叉树)的绝对值幼于Delta(Black),且越是虚值差别越大;而对于平实值期权而言,Delta(二叉树)的绝对值逆而大于Delta(Black)。这点吾们能够从期权的有效期角度做出注释。

  美式期权与欧式期权的区别在于美式期权能够在期权持有期的肆意时间点走权,而欧式期权只能在到期日走权。从这个角度起程,吾们能够发现对于相聚到期日的美式期权和欧式期权,由于美式期权存在片面挑前走权的情况,其平均存续期要幼于欧式期权,那么吾们能够将美式期权视为一个盈余期限较短的欧式期权。

  某栽程度上,Delta可理解为到期日成为实值期权从而被走权的概率。盈余期限越短,意味着总共即将尘埃落定,虚值期权转为实值期权的能够性越矮,Delta值越幼;而实值期权保持其原有状态的能够性越高,Delta值越大。所以,对于虚值期权来说,在“较短盈余期限”下的Delta(二叉树)比持有期更长的Delta(Black)更矮;对于实值期权来说,在“较短盈余期限”下的Delta(二叉树)则比持有期更长的Delta(Black)更高。

  另外,从图中能够不益看察到,两个模型的Delta之差存在一个拐点,当实值程度超过肯定阈值以后,差值最先缩短,这点可从Gamma值角度进走注释。

  Gamma

  Gamma逆映了Delta相对于权利金转折的边际量,Delta弯线是Gamma弯线的积分,两个模型的Gamma弯线迥异,将引首吾们上述不益看察到的两个模型之间的Delta存在迥异。

  在欧式期权由实值变为虚值的过程中,Delta弯线的转折速率表现出先添大后减幼的趋势,对答的Gamma弯线也表现出先添大后减幼末了无限趋近于0的形式。然而在上文中吾们不益看察到了美式期权深度实值片面的Delta弯线较欧式期权存在清晰迥异,那么对答的实值片面美式期权的Gamma弯线是怎样的呢?

  吾们可从两个模型的Gamma弯线中不益看察到,相通在值程度下望涨期权和望跌期权的Gamma值很是,且对于欧式期权而言,Gamma值表现对称的组织,但是对于美式期权,并非完善对称,而是在实值位置有所偏离。在实值区域,二叉树模型下的Gamma高于Black模型下的Gamma,但超过某一个阈值以后,二叉树的Gamma又敏捷减幼到0,而这一阈值与实值期权的Delta差最先缩短的阈值吻合合。

  另外,两个模型下的Gamma值随在值程度的外现也与Delta情况相近,且二者之间集体差距较幼。所以,在行使标的对期权进走对冲时,相对于欧式期权,美式期权买方能够从Gamma中赚得更众的利润,对答的期权卖方折本更众。

  对于实值美式期权,在超过某一个阈值之后,Gamma(二叉树)恒等于0,同时Delta(二叉树)恒等于1,能够发现在不考虑Vega和Theta的情况下,持有云云一个望涨(望跌)期权就相当于持有一个期货众头(空头)。由于相对于欧式期权,美式期权具有能够挑前走权的特点,那么是否在超过肯定阈值以后,美式期权的持有者理论上肯定会选择挑前走权将期权头寸转化为期货头寸呢?吾们将从Theta和Vega的角度来探讨这一题目。

  Theta

  Theta表现了时间因素对期权价格的影响,随着时间的流逝,期权价格将逐渐衰减,所以Theta清淡外现为负值。迥异于B-S模型下的Theta值,对于期货期权而言,不论美式或是欧式,望涨期权与望跌期权的Theta值是相通的。另外,Theta弯线表现为中心矮双方高的形式,也就是说平值期权的时间价值衰减速度要快于实值和虚值期权。

  从下图中能够望出,集体上两个模型计算出来的Theta值之间无清晰迥异,但当实值程度超过肯定阈值时,二者存在清晰偏离,主要外现为Black模型下的深度实值Theta均为正值,而二叉树趋近于0,这意味着今后铜期货期权上市后,其深度实值的望涨期权与望跌期权的时间价值均有能够展现为负的情形,而对于当下的白糖期权、豆粕期权来说,由于其为美式期权,时间价值不能够为负,由于一旦时间价值为负,那么期权的持有者就会选择挑前走权,将期权头寸转化为期货头寸。

  究其背后因为,一方面,持有深度实值期权的资金占用高,从而产生了较高的资金成本;另一方面,越是深实值的期权时间价值越幼,若不息持有期权产生的资金成本超过时间价值时,时间越短逆而对期权买方越有利,这将导致欧式期权Theta为正。因美式期权可挑前走权,若发生以上有利情形,投资者直接走权转化为期货头寸即可,所以Theta归零。

  Vega

  Vega逆映了震动率对期权价格的影响,震动率越大,望跌期权与望涨期权的期权价格均会放大越众,且二者之间的Vega值很是。另外,持有期越长,Vega值越大;随着在值程度逐渐变大,Vega值表现先变大后缩短的钟形形式。也就是说,持有期越长、越是挨近平值的期权,Vega值越大。

  从对比图来望,能够不益看察到在深度实值片面,二叉树模型下的Vega和Gamma、Theta存在了相通的情况,在超过阈值以后等于0。

  [结论]

  按照以上对比分析,笔者总结出欧式和美式期权Greeks有以下特性:

  不论是欧式期权照样美式期权,Delta值取值周围固定在-1到1之间,望涨期权Delta值大于0,望跌期权Delta值幼于0,越是实值的期权,Delta绝对值越大。

  由于Delta值表现了期权成为实值的概率,对于迥异的在值程度,越挨近到期日,Delta值分布越松散,即内情值期权保持其原有状态实在定性更高。

  相通在值程度的望涨、望跌期权的Gamma值很是,对于欧式期权,Gamma值表现完善对称的特征,但是美式期权在实值片面有所偏离,而这也导致了美式期权的实值Delta比欧式更大。

  相通在值程度的望涨、望跌期权的Theta值很是,对于美式期货期权,Theta值恒幼于等于0;但是深实值的欧式期货期权Theta值会展现大于0的情况。

  相通在值程度的望涨、望跌期权的Vega值很是,对于欧式期权,Vega值表现完善对称的特征,但是美式期权在实值片面有所偏离,深实值期权的Vega值快速约束于0。

  综合以上所述,吾们能够发现,集体来说,欧式期货期权和美式期货期权的Greeks因子之间除深实值期权片面有较众迥异,其他不论从趋势或从绝对量来望并无清晰迥异。基于此,为了方便首见,行使浅易的Black模型对美式期货期权的Greeks进走大致分析是正当的,误差周围可限制在1%以内。

  (作者单位:永安期货)